푸아송 괄호

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 해밀턴 역학에서의 응용
5. 정준 변환
6. 심플렉틱 기하학적 정의
7. 리 괄호와의 관계
8. 양자역학으로의 확장
참조

1. 개요

푸아송 괄호는 일반화 좌표와 운동량으로 표현되는 두 함수에 대해 정의되는 연산이다. 이 괄호는 해밀턴 역학에서 중요한 역할을 하며, 특히 해밀턴 방정식과 운동량 보존 법칙을 표현하는 데 사용된다. 푸아송 괄호는 반대칭성, 쌍선형성, 라이프니츠 규칙, 야코비 항등식을 만족하며, 정준 변환에 대해 불변이다. 또한 푸아송 괄호는 심플렉틱 기하학적 정의와 리 괄호와의 관계를 가지며, 양자역학으로의 확장도 가능하다.

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푸아송 괄호
푸아송 괄호
정의	고전 역학에서 두 개의 함수 f와 g의 푸아송 괄호 {f, g}는 다음과 같이 정의된다. '{f, g} = ∑ᵢ(∂f/∂qᵢ * ∂g/∂pᵢ - ∂f/∂pᵢ * ∂g/∂qᵢ)' 여기서 qᵢ와 pᵢ는 각각 정준 좌표와 정준 운동량이다.
응용 분야	해밀턴 역학 양자 역학
역사
이름 유래	시메옹 드니 푸아송의 이름을 따서 명명됨
성질
반대칭성	'{f, g} = -{g, f}'
야코비 항등식	'{f, {g, h}} + {g, {h, f}} + {h, {f, g}} = 0'
선형성	'{af + bg, h} = a{f, h} + b{g, h}' (a, b는 상수)
라이프니츠 규칙	'{f, gh} = {f, g}h + g{f, h}'
양자화
푸아송 괄호와 교환자	양자 역학에서 푸아송 괄호는 교환자의 고전적 극한에 해당한다.

2. 정의

일반화 좌표 $(q_i, \; p_i , \; t)$ 에서, 두 함수 $F(q_i, \; p_i , \; t)$ , $G(q_i, \; p_i , \; t)$ 에 대한 푸아송 괄호는 다음과 같이 정의된다.

: $\{ F,\; G \} = \sum_i \left[ {\partial F \over \partial q_i} {\partial G \over \partial p_i} - {\partial F \over \partial p_i} {\partial G \over \partial q_i} \right]$

몇몇 경우에는 푸아송 괄호를 아래와 같이 정의하기도 하므로 유의해야 한다.^[12]

: $\{ F,\; G \} = \sum_i \left[ {\partial F \over \partial p_i} {\partial G \over \partial q_i} - {\partial F \over \partial q_i} {\partial G \over \partial p_i} \right]$

두 정의는 서로 부호가 반대라는 차이점이 있을 뿐이다. 여기서는 첫 번째 정의를 사용한다.

정준 좌표(또는 다르부 좌표) $(q_i,\, p_i)$ 에서, 위상 공간의 두 함수 $f(p_i,\, q_i, t)$ 와 $g(p_i,\, q_i, t)$ 가 주어지면, 푸아송 괄호는 다음과 같은 형식을 갖는다.

: $\{f, g\} = \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_i} \frac{\partial g}{\partial q_i}\right).$

정준 좌표의 푸아송 괄호는 다음과 같다.

: $\begin{align}\{q_k,q_l\} &= \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial q_k}{\partial q_{i}} \frac{\partial q_l}{\partial p_{i}} - \frac{\partial q_k}{\partial p_i} \frac{\partial q_l}{\partial q_i}\right) = \sum_{i=1}^{N} \left( \delta_{ki} \cdot 0 - 0 \cdot \delta_{li}\right) = 0, \\\{p_k,p_l\} &=\sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial p_k}{\partial q_{i}} \frac{\partial p_l}{\partial p_{i}} - \frac{\partial p_k}{\partial p_i} \frac{\partial p_l}{\partial q_i}\right) = \sum_{i=1}^{N} \left( 0 \cdot \delta_{li} - \delta_{ki} \cdot 0\right) = 0, \\\{q_k,p_l\} &= \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial q_k}{\partial q_{i}} \frac{\partial p_l}{\partial p_{i}} - \frac{\partial q_k}{\partial p_i} \frac{\partial p_l}{\partial q_i}\right) = \sum_{i=1}^{N} \left( \delta_{ki} \cdot \delta_{li} - 0 \cdot 0\right) = \delta_{kl},\end{align}$

여기서 $\delta_{ij}$ 는 크로네커 델타이다.

해밀토니안을 $H$ 라고 하면, 운동 방정식에 따른 정준 변수의 시간 변화는 해밀턴 정준 방정식

: $\dot{q}_i(t) = \frac{\partial H}{\partial p_i}$

: $\dot{p}_i (t)= -\frac{\partial H}{\partial q_i}$

로 주어지며, 점 기호는 시간 $t$ 에 대한 미분을 나타낸다.

일반적으로 정준 방정식의 해 $(q(t), p(t))$ 와 시간 $t$ 에 의존하는 함수 $F(q(t),p(t),t)$ 의 시간 변화는

: $\frac{d}{dt}F(q(t),p(t),t)=\frac{ \partial F}{\partial t}+\sum_{i=1}^n\Big( \frac{\partial F}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial F}{\partial p_i} \dot{p}_i \Big)=\frac{ \partial F}{\partial t}+\sum_{i=1}^n \Big(\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}$

\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\Big)

=\frac{ \partial F}{\partial t} +\{ F, H\}

로 해밀토니안

H

와의 푸아송 괄호

\{F, H\}

로 표현할 수 있다.^[7]

함수

F(q(t),p(t),t)

에 대해,

:

\frac{d}{dt}F(q(t),p(t),t)=\frac{ \partial F}{\partial t} +\{ F, H\}

는

F

의 운동 방정식이며, 특히 정준 변수에 대한 정준 방정식은

:

\dot{q}_i(t) = \{ q_i, H\}

:

\dot{p}_i(t) = \{ p_i, H\}

로 푸아송 괄호로 나타낼 수 있다.

3. 성질

푸아송 괄호는 반대칭성, 쌍선형성, 라이프니츠 규칙, 야코비 항등식을 만족한다.^[8] 이러한 성질들은 푸아송 괄호가 리 대수를 이루는 기반이 된다.^[9]

위상 공간에서 함수 $k$ 가 상수이면(시간에 의존할 수 있음), 모든 함수 $f$ 에 대해 $\{f,\, k\} = 0$ 이다.

3. 1. 반교환성 (왜곡 대칭성)

일반화 좌표

(q_i, \; p_i , \; t)

에서 정의된 세 함수

A(q_i, \; p_i , \; t)

,

B(q_i, \; p_i , \; t)

,

C(q_i, \; p_i , \; t)

에 대해, 푸아송 괄호는 다음과 같은 반대칭성을 가진다.^[8]

:

\{ A, \; B \} = - \{ B, \; A \}

위상 공간과 시간에 의존하는 두 함수

f

와

g

의 푸아송 괄호

\{f, g\}

는 위상 공간과 시간에 의존하는 또 다른 함수이다. 위상 공간과 시간의 임의의 세 함수

f,\, g,\, h

에 대해 다음이 성립한다.

:

\{f, g\} = -\{g, f\}

상 공간 위의 2계 미분가능한 임의의 실수 값 함수

f

,

g

와 실수

\lambda

,

\mu

에 대해, 푸아송 괄호는 왜곡 대칭성을 만족한다.^[8]

:

\{f, g\} =-\{g, f\}

왜곡 대칭성으로부터 다음이 성립한다.

:

\{f, f\} =0

3. 2. 쌍선형성

쌍선형인 푸아송 괄호는 실수

\lambda, \mu

와 위상 공간 위의 2계 미분가능한 임의의 실수 값 함수

f, g, h

에 대해, 제1성분과 제2성분 모두에 대해 다음의 선형 관계를 만족한다.^[8]

:

\{\lambda f+ \mu g, h\} = \lambda \{f, h\} + \mu \{g, h\}

:

\{f, \lambda g+\mu h\} = \lambda \{f, g\} + \mu \{f, h\}

이는 위상 공간과 시간에 의존하는 두 함수

f

와

g

의 푸아송 괄호

\{f, g\}

가 위상 공간과 시간에 의존하는 또 다른 함수가 될 때도 마찬가지이며, 위상 공간과 시간의 임의의 세 함수

f, g, h

와 실수

a, b

에 대해서도 다음이 성립한다.

:

\{af + bg, h\} = a\{f, h\} + b\{g, h\}, \quad \{h, af + bg\} = a\{h, f\} + b\{h, g\}

3. 3. 라이프니츠 규칙

라이프니츠 규칙에 따라, 위상 공간과 시간에 의존하는 임의의 세 함수

f, g, h

에 대해 다음이 성립한다.

:

\{fg, h\} = \{f, h\}g + f\{g, h\}

:

\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}

이러한 성질로부터 상 공간에서의 매끄러운 함수 집합은 푸아송 괄호로 곱셈 연산을 정하면 리 대수가 된다.^[9]

3. 4. 야코비 항등식

일반화 좌표

(q_i, \; p_i , \; t)

에서, 세 함수

A(q_i, \; p_i , \; t)

,

B(q_i, \; p_i , \; t)

,

C(q_i, \; p_i , \; t)

에 대해 푸아송 괄호는 다음 야코비 항등식을 만족한다.^[8]

:

\{A, \; \{B, \;C\}\}   +  \{B,\; \{C,\; A\}\}   +  \{C,\; \{A,\; B\}\} \ = \ 0

상 공간 위의 2계 미분가능한 임의의 실수 값 함수에 대해서도 푸아송 괄호는 다음의 야코비 항등식을 만족한다.

:

\{\{f, g\}, h\} + \{\{h, f\}, g\} +\{\{g, h\}, f\} = 0

3. 5. 기본 푸아송 괄호

정준 좌표(또는 다르부 좌표)

(q_i, p_i)

에서, 정준 변수끼리의 푸아송 괄호를 '''기본 푸아송 괄호'''라고 한다.^[11] 기본 푸아송 괄호는 다음과 같다.

:

\{ p_i, p_j \} = \{ q_i, q_j \} =0

,

\{ q_i, p_j \} =\delta_{ij}

여기서

\delta_{ij}

는 크로네커 델타이다.

또한, 다음 관계식이 성립한다.

:

\{ f , q_i \} = -\frac{\partial f}{\partial p_i},\quad \{ f , p_i \} = \frac{\partial f}{\partial q_i}

4. 해밀턴 역학에서의 응용

해밀턴 역학에서 푸아송 괄호는 운동 방정식을 표현하는 데 중요한 역할을 한다. 해밀턴 역학의 운동 방정식은 푸아송 괄호를 통해 동등하게 표현될 수 있다.

함수 f(p, q, t)가 해의 궤적 다양체 위에 있을 때, 이 함수의 시간에 대한 변화는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\frac {d}{dt} f(p, q, t) = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} ~.$

여기서 H는 해밀토니안을 나타낸다. 이 식은 함수 f의 시간 변화가 푸아송 괄호와 f의 시간에 대한 편미분의 합으로 표현됨을 보여준다.

이러한 시간 진화는 심플렉틱 다양체 위에서 시간 t를 매개변수로 하는 심플렉토모피즘(정준 변환)으로 나타낼 수 있다. 다시 말해, 해밀턴 운동은 해밀토니안에 의해 생성되는 정준 변환이며, 푸아송 괄호는 정준 불변량이다.

좌표를 생략하고 표현하면,

: $\frac{d}{dt} f = \left(\frac{\partial}{\partial t} - \{H, \cdot\}\right)f.$

와 같이 나타낼 수 있으며, 여기서 $i\hat{L} = -\{H, \cdot\}$ 는 리우빌 연산자라고 불린다.

4. 1. 해밀턴 방정식

푸아송 괄호를 이용해 해밀턴 역학의 운동 방정식을 표현할 수 있다. 일반화 좌표

(q_i, \; p_i , \; t)

에서의 해밀턴 방정식

:

\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}

:

\dot{q}_i =~~\frac{\partial H}{\partial p_i}

은 푸아송 괄호를 이용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\dot{p}_i = - \{H, \; p_i \}

:

\dot{q}_i = - \{H, \; q_i \}

원래의 해밀턴 방정식에선 일반화 좌표

q_i

와 일반화 운동량

p_i

사이에 대칭성이 있음을 유추할 수 있지만, 부호가 달랐다. 하지만 푸아송 괄호를 통한 해밀턴 방정식에선

q_i

와

p_i

사이에 대칭성이 있음을 확인할 수 있다.

해밀턴 역학의 운동 방정식은 푸아송 괄호에 의해 동등한 표현이 가능하다. 이것은 명시적인 좌표계에서 가장 직접적으로 증명될 수 있다.

f(p, q, t)

가 해의 궤적 다양체 위의 함수라고 가정하면, 다변수 연쇄 법칙에 의해,

:

\frac{d}{dt} f(p, q, t) = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{dq}{dt} + \frac {\partial f}{\partial p} \frac{dp}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t}.

또한,

p = p(t)

와

q = q(t)

를 해밀턴 방정식의 해로 간주할 수 있다. 즉,

:

\begin{align}\frac{d q}{d t} &=  \frac{\partial H}{\partial p} = \{q, H\}, \\\frac{d p}{d t} &= -\frac{\partial H}{\partial q} = \{p, H\}.\end{align}

그러면

:

\begin{align}\frac {d}{dt} f(p, q, t) &= \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} + \frac{\partial f}{\partial t} \\&= \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} ~.\end{align}

따라서, 심플렉틱 다양체 위의 함수

f

의 시간 진화는 시간

t

를 매개변수로 하는 1-매개변수 패밀리의 심플렉토모피즘 (즉, 정준 변환, 면적 보존 미분 동형 사상)으로 주어질 수 있다. 해밀턴 운동은 해밀토니안에 의해 생성되는 정준 변환이다. 즉, 푸아송 괄호가 보존되므로 해밀턴 방정식의 해에서 ''모든 시간

t

''에 대해

:

q(t) = \exp (-t \{ H, \cdot \} ) q(0), \quad  p(t) = \exp (-t \{ H, \cdot \}) p(0),

는 괄호 좌표로 사용될 수 있다. ''푸아송 괄호는 정준 불변량이다''.

좌표를 생략하면,

:

\frac{d}{dt} f = \left(\frac{\partial}{\partial t} - \{H, \cdot\}\right)f.

도함수의 대류 부분의 연산자

i\hat{L} = -\{H, \cdot\}

는 때때로 리우빌 연산자라고 한다 (리우빌 정리 참조).

해밀토니안을

H=H(q, p, t)

라고 하면, 운동 방정식에 따른 정준 변수의 시간 변화

(q(t), p(t))

는 해밀턴 정준 방정식

:

\dot{q}_i(t) = \frac{\partial H}{\partial p_i}

:

\dot{p}_i (t)= -\frac{\partial H}{\partial q_i}

로 주어진다. 단, 점 기호는 시간

t

에 대한 미분을 나타낸다. 일반적으로 정준 방정식의 해

(q(t), p(t))

와 시간

t

에 의존하는 함수

F=F(q(t), p(t), t)

의 시간 변화는

:

\frac{d}{dt}F(q(t),p(t),t)=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t)+\sum_{i=1}^n\Big( \frac{\partial F}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial F}{\partial p_i} \dot{p}_i \Big)=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t)+\sum_{i=1}^n \Big(\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}

\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}\Big)

=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t) +\{ F, H\}

로 해밀토니안

H

와의 푸아송 괄호

\{F,H\}

로 표현할 수 있다^[7]。

함수

F=F(q, p, t)

에 대해,

:

\frac{d}{dt}F(q(t),p(t),t)=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t) +\{ F, H\}

는

F

의 운동 방정식이며, 특히 정준 변수에 대한 정준 방정식은

:

\dot{q}_i(t) = \{ q_i, H\}

:

\dot{p}_i(t) = \{ p_i, H\}

로 푸아송 괄호로 나타낼 수 있다.

4. 2. 물리량의 시간 변화

어떤 동역학적 물리량

F(q_i, \; p_i , \; t)

가 주어졌을 때, 위상 공간에서 이 물리량의 시간에 따른 변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\frac {d}{dt} F(q_i, \; p_i \; ,t) = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_i \left[\frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {dq_i}{dt} +\frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {dp_i}{dt} \right]

여기에 해밀턴 방정식

\dot{q}_i={\partial H}/{\partial p_i}

와

\dot{p}_i=-{\partial H}/{\partial q_i}

을 대입하면

:

\begin{align}\frac {d}{dt} F(q_i,\; p_i ,\; t) & = \frac{\partial F}{\partial t} + \sum_i \left[\frac {\partial F}{\partial q_i} \frac {\partial H}{\partial p_i} -\frac {\partial F}{\partial p_i} \frac {\partial H}{\partial q_i} \right]\\ &=\frac{\partial F}{\partial t} -\{H, \; F\}\end{align}

이 된다. 따라서 물리량

F

의 시변(시간변화 부분)은

:

\frac{d}{dt} F=\left(\frac{\partial }{\partial t}  - \{ H, \; \cdot \}\right)F

와 같이 쓸 수 있다. 여기서 연산자

-\{ H, \; \cdot \}

는 리우빌리안이라 불리기도 한다.

해밀턴 역학에서 물체의 운동은 일반화 좌표와 일반화 운동량의 쌍으로 구성된 정준 변수로 기술된다. 해밀토니안을

H

라고 하면, 운동 방정식에 따른 정준 변수의 시간 변화는 해밀턴 정준 방정식

:

\dot{q}_i(t) = \frac{\partial H}{\partial p_i}

:

\dot{p}_i (t)= -\frac{\partial H}{\partial q_i}

로 주어진다. 단, 점 기호는 시간

t

에 대한 미분을 나타낸다. 일반적으로 정준 방정식의 해

(q(t), p(t))

와 시간

t

에 의존하는 함수

F(q(t),p(t),t)

의 시간 변화는

:

\frac{d}{dt}F(q(t),p(t),t)=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t)+\sum_{i=1}^n\Big( \frac{\partial F}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial F}{\partial p_i} \dot{p}_i \Big)=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t)+\sum_{i=1}^n \Big(\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}

\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}\Big)

=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t) +\{ F, H\}

로 해밀토니안

H

와의 푸아송 괄호로 표현할 수 있다^[7]。

함수

F(q(t),p(t),t)

에 대해,

:

\frac{d}{dt}F(q(t),p(t),t)=\frac{ \partial }{\partial t}F(q(t),p(t),t) +\{ F, H\}

는

F

의 운동 방정식이며, 특히 정준 변수에 대한 정준 방정식은

:

\dot{q}_i(t) = \{ q_i, H\}

:

\dot{p}_i(t) = \{ p_i, H\}

로 푸아송 괄호로 나타낼 수 있다.

해밀턴 역학의 운동 방정식은 푸아송 괄호에 의해 동등한 표현이 가능하다.

f(p, q, t)

가 해의 궤적 다양체 위의 함수라고 가정하면, 다변수 연쇄 법칙에 의해,

\frac{d}{dt} f(p, q, t) = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{dq}{dt} + \frac {\partial f}{\partial p} \frac{dp}{dt} + \frac{\partial f}{\partial t}.

또한,

p = p(t)

와

q = q(t)

를 해밀턴 방정식의 해로 간주할 수 있다. 즉,

\begin{align}\frac{d q}{d t} &=  \frac{\partial H}{\partial p} = \{q, H\}, \\\frac{d p}{d t} &= -\frac{\partial H}{\partial q} = \{p, H\}.\end{align}

그러면

\begin{align}\frac {d}{dt} f(p, q, t) &= \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial H}{\partial q} + \frac{\partial f}{\partial t} \\&= \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} ~.\end{align}

따라서, 심플렉틱 다양체 위의 함수

f

의 시간 진화는 시간

t

를 매개변수로 하는 1-매개변수 패밀리의 심플렉토모피즘 (즉, 정준 변환, 면적 보존 미분 동형 사상)으로 주어질 수 있다. 해밀턴 운동은 해밀토니안에 의해 생성되는 정준 변환이다. 즉, 푸아송 괄호가 보존되므로 해밀턴 방정식의 해에서 ''모든 시간

t

''에 대해

q(t) = \exp (-t \{ H, \cdot \} ) q(0), \quad  p(t) = \exp (-t \{ H, \cdot \}) p(0),

는 괄호 좌표로 사용될 수 있다. ''푸아송 괄호는 정준 불변량이다''.

좌표를 생략하면,

\frac{d}{dt} f = \left(\frac{\partial}{\partial t} - \{H, \cdot\}\right)f.

도함수의 대류 부분의 연산자

i\hat{L} = -\{H, \cdot\}

는 때때로 리우빌 연산자라고 한다 (리우빌 정리 참조).

4. 3. 운동 상수 (보존량)

어떤 동역학적 물리량 $F(q_i, \; p_i , \; t)$가 운동상수(보존되는 물리량)라면, 즉 ${d F \over dt} = 0$ 이라면, 이 물리량은 시간에 대한 직접적인 함수가 아니며 $({\partial F \over \partial t} = 0)$, 해밀토니안 $H$와 물리량 $F$의 푸아송 괄호는 0이 되어야 한다.

:$\{H,\; F\} = 0$

이는 첫 번째 방정식을 연쇄법칙을 이용해 전개하고 해밀턴 방정식을 대입하면 증명할 수 있다.

만약 $f$와 $g$의 푸아송 괄호가 0이 된다면 ($\{f,g\} = 0$), $f$와 $g$는 '''인볼루션''' 상태에 있다고 한다. 해밀턴 역학계가 완전 적분 가능하기 위해서는, $n$개의 독립적인 운동 상수들이 서로 상호 인볼루션 상태에 있어야 하며, 여기서 $n$은 자유도의 수이다.

게다가, '''푸아송의 정리'''에 따르면, 두 양 $A$와 $B$가 명시적으로 시간에 무관한 ($A(p, q), B(p, q)$) 운동 상수라면, 그들의 푸아송 괄호 $\{A,\, B\}$도 역시 운동 상수이다. 그러나 이는 항상 유용한 결과를 제공하는 것은 아닌데, 그 이유는 가능한 운동 상수의 수가 제한되어 있기 때문이다 ($n$ 자유도를 가진 시스템의 경우 $2n - 1$개). 따라서 결과가 자명할 수 있다 (상수이거나 $A$와 $B$의 함수).

푸아송 괄호는 운동의 보존량을 찾는 데 유용하다. 실제로 $H$를 시간에 의존하지 않는 해밀토니안으로 하고, $(q(t),p(t))$를 $H$에 관한 정준 방정식의 해라고 하고, $f$를 (시간에 의존하지 않는) 미분 가능한 임의의 함수라고 하면,

: ${\mathrm d \over \mathrm dt}f(q(t),p(t)) = \{f,H\}(q(t),p(t))$

이므로, $\{f, H\}$가 0이면 $f(q(t),p(t))$는 시간 $t$에 관계없이 불변이다.

또한 $f, g$를 $\{f, H\}, \{g, H\}$가 항등적으로 0이 되는 함수라고 하면,

:$\{\{f,g\},H\}= 0$

따라서 $\{f,g\}(q(t),p(t))$도 시간 $t$에 관계없이 불변이다.

$f, g$가 운동의 보존량이라는 것을 알면, 물체는 $f = const., g = const.$를 만족하는 위상 공간의 부분 집합에서 운동한다는 것을 알 수 있다. 특히 보존량이 $2n-1$개 발견되면, 물체가 운동하는 장소가 1차원 공간으로 한정되므로 물체의 궤도를 완전히 결정할 수 있다. 많은 계에서 정준 방정식을 실제로 풀어서 운동을 결정하는 것은 매우 어렵기 때문에, 푸아송 괄호를 사용하여 보존량을 찾아 운동의 범위를 특정하는 것은 해밀턴 역학에서 중요한 기법이 된다.

5. 정준 변환

푸아송 괄호는 정준 변환에 대해 불변이다. 즉, 정준 변환은 위상 공간의 기하학적 구조를 보존한다.

다음 정준 변환을 고려해 보자.

: $\eta =\begin{bmatrix}q_1\\\vdots \\q_N\\p_1\\\vdots\\p_N\\\end{bmatrix} \quad \rightarrow \quad \varepsilon =\begin{bmatrix}Q_1\\\vdots \\Q_N\\P_1\\\vdots\\P_N\\\end{bmatrix}$

$M := \frac{\partial (\mathbf{Q}, \mathbf{P})}{\partial (\mathbf{q}, \mathbf{p})}$ 를 정의하면, 푸아송 행렬은 $\mathcal P(\varepsilon) = MJM^T$ 로 정의되며, 여기서 $J$ 는 좌표 집합을 정렬하는 데 사용된 동일한 규칙에 따른 심플렉틱 행렬이다. 정의로부터 다음과 같은 결론이 따른다.

: $\mathcal P_{ij}(\varepsilon) = [MJM^T]_{ij}=\sum_{k=1}^{N} \left( \frac{\partial \varepsilon_i}{\partial \eta_{k}} \frac{\partial \varepsilon_j}{\partial \eta_{N+k}} - \frac{\partial \varepsilon_i}{\partial \eta_{N+k}} \frac{\partial \varepsilon_j}{\partial \eta_k}\right)=\sum_{k=1}^{N} \left( \frac{\partial \varepsilon_i}{\partial q_{k}} \frac{\partial \varepsilon_j}{\partial p_k} - \frac{\partial \varepsilon_i}{\partial p_k} \frac{\partial \varepsilon_j}{\partial q_k}\right)=\{ \varepsilon_i,\varepsilon_j\}_\eta.$

푸아송 행렬은 다음과 같은 속성을 만족한다.

: $\begin{align}\mathcal P^T &= - \mathcal P \\|\mathcal P| &= \frac{1}$

6. 심플렉틱 기하학적 정의

심플렉틱 다양체

M

위에서, 심플렉틱 형식

\omega

를 사용하여 푸아송 괄호를 좌표에 의존하지 않는 방식으로 정의할 수 있다.

\omega

는 닫혀 있고(즉, 외미분

d \omega = 0

) 비퇴화인 2-형식이다.

\iota_v \omega

를 내부 곱 또는 축약 연산이라 하면, 비퇴화성은 모든 1-형식

\alpha

에 대해

\iota_{\Omega_\alpha} \omega =  \alpha

를 만족하는 고유한 벡터장

\Omega_\alpha

가 존재한다는 것을 의미한다.

H

가

M

위의 매끄러운 함수일 때, 해밀턴 벡터장

X_H

는

\Omega_{d H}

로 정의된다.

(M, \omega)

에 대한 '''푸아송 괄호'''

\{ \cdot, \cdot \}

는 미분 가능한 함수에 대한 쌍선형 연산이며,

\{f, g\} = \omega(X_f, X_g)

로 정의된다. 푸아송 괄호는 반대칭적이다. 즉,

\{f, g\} = -\{g, f\}

이다.

또한, 다음이 성립한다.

:

\{f, g\} =  X_g f = \mathcal{L}_{X_g} f

여기서

X_g f

는 방향 미분,

\mathcal{L}_{X_g} f

는 리 미분을 나타낸다.

\alpha

가

M

에 대한 임의의 1-형식이라면, 벡터장

\Omega_\alpha

는 흐름

\phi_x(t)

를 생성한다.

\phi_x(t)

가 모든

x

에 대한 함수로서 모든

t

에 대해 심플렉토모피즘(정준 변환)이 되는 조건은

\mathcal{L}_{\Omega_\alpha}\omega = 0

이며, 이때

\Omega_\alpha

는 심플렉틱 벡터장이라고 한다. 카르탕 항등식과

d\omega = 0

을 이용하면,

\mathcal{L}_{\Omega_\alpha}\omega = d\alpha

임을 알 수 있다. 따라서

\Omega_\alpha

는

\alpha

가 닫힌 형식일 때만 심플렉틱 벡터장이다. 모든 해밀턴 벡터장

X_f

는 심플렉틱 벡터장이며, 해밀턴 흐름은 정준 변환으로 구성된다.

해밀턴 흐름

X_H

아래에서, 다음이 성립한다.

:

\frac{d}{dt}f(\phi_x(t)) = \{f,H\}

이는 위상 공간에서 정의된 함수의 시간 진화를 지배하는 해밀턴 역학의 기본적인 결과이다.

\{f,H\} = 0

일 때,

f

는 시스템의 운동 상수이다.

푸아송 괄호는 도함이며, 라이프니츠의 곱 규칙의 비가환 버전을 만족한다. 즉,

:

\{fg,h\} = f\{g,h\} + g\{f,h\}

:

\{f,gh\} = g\{f,h\} + h\{f,g\}

푸아송 괄호는 해밀턴 벡터장의 리 괄호와 밀접하게 관련되어 있다. 함수에 대한 푸아송 괄호는 관련 해밀턴 벡터장의 리 괄호에 해당한다.

:

[X_f,X_g] = -X_{\{f,g\}}

심플렉틱 벡터장은

M

에 대한 매끄러운 벡터장의 리 대수의 부분 대수를 형성하고, 해밀턴 벡터장은 이 부분 대수의 아이디얼을 형성한다.

푸아송 괄호에 대한 야코비 항등식은 벡터장의 리 괄호에 대한 해당 항등식에서 유도된다.

푸아송 괄호와 함께

M

에 대한 매끄러운 함수의 대수는 푸아송 대수를 형성한다. 모든 심플렉틱 다양체는 푸아송 다양체이지만, 모든 푸아송 다양체가 심플렉틱 다양체에서 비롯되는 것은 아니다.

정준 좌표

(q, p)

에 의존하지 않고, 심플렉틱 형식

\omega

를 사용하여 푸아송 괄호를 정의할 수 있다. 함수

f

에 대해,

X_f

를

:

\mathrm{d}f(\cdot)=\omega(X_f,\cdot)

를 만족하는 접벡터라고 할 때, '''푸아송 괄호'''

\{f, g\}

는

:

\{f,g\}=\omega(X_f,X_g)

로 정의된다.

또한, 푸아송 괄호는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\{f,g\}=X_g(f)=-X_f(g)

7. 리 괄호와의 관계

Poisson bracket^영어 푸아송 괄호는 해밀턴 벡터장의 리 괄호와 밀접하게 관련되어 있다.

함수에 대한 푸아송 괄호는 관련 해밀턴 벡터장의 리 괄호에 해당한다. 즉, 다음이 성립한다.

: $[X_f, X_g] = - X_{\{f,g\}}.$

또한, 두 심플렉틱 벡터장의 리 괄호는 해밀턴 벡터장이 되므로 심플렉틱이 된다. 추상 대수학의 용어로, 심플렉틱 벡터장은 매끄러운 벡터장의 리 대수의 부분 대수를 형성하고, 해밀턴 벡터장은 이 부분 대수의 아이디얼을 형성한다. 심플렉틱 벡터장은 (무한 차원) 리 군인 심플렉토모피즘의 리 대수이다.

켤레 운동량 매핑은 리 대수 반-준동형 사상으로, 리 괄호에서 푸아송 괄호로의 사상이다.

: $\{P_X, P_Y\} = -P_{[X, Y]}.$

8. 양자역학으로의 확장

푸아송 괄호는 변형 이론을 통해 바일 양자화를 거치면 모얄 괄호로 변형되며, 이는 다른 리 대수인 모얄 대수 또는 동등하게는 힐베르트 공간에서의 양자 교환자로 일반화된다. 이러한 괄호의 비그너-이뇌뉘 군 축약(고전적 극한, $\hbar \to 0$ )은 위의 리 대수를 생성한다.

좀 더 명확하고 정확하게 말하면, 하이젠베르크 대수의 보편 포락 대수는 바일 대수이다(중심이 단위가 된다는 관계를 제외하고). 모얄 곱은 기호 대수의 스타 곱의 특별한 경우이다. 기호 대수와 스타 곱의 명시적인 정의는 보편 포락 대수 문서에서 확인할 수 있다.

참조

_[1] 문서 S. D. Poisson (1809)
_[2] 문서 C. M. Marle (2009)
_[3] 문서
_[4] 서적 Perturbation methods in non-linear systems Springer 1972
_[5] 문서 S. D. Poisson (1809)
_[6] 문서 C. M. Marle (2009)
_[7] 문서 並木 (1991)、第2章
_[8] 문서 畑 (2014), §6.8
_[9] 문서 山本、中村 (1998b), §6.4
_[10] 문서 山本、中村 (1998b), §6.3
_[11] 문서 山本、中村 (1998b), §6.2
_[12] 서적 개정판 고전역학 서울대학교출판부 2006

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